Der Fehler in der fehlerhaften Mathematik unserer Sterne

Warnung: Enthält kleinere Spoiler für The Fault in Our Stars. Ich habe kürzlich "The Fault in Our Stars" von John Green gelesen, ein Film, der zu einem Diebstahl in Amsterdam und einem Mangel an trockenen Augen in Kinos auf der ganzen Welt geführt hat.

Warnung: Enthält kleinere Spoiler für The Fault in Our Stars.

Ich habe kürzlich gelesen Der Fehler in unseren Sternen von John Green, heute ein großer Film, der in Amsterdam zum Diebstahl und zu einem Mangel an trockenen Augen in den Kinos auf der ganzen Welt geführt hat. Eine der Ideen, die mit Hazel, dem 16-jährigen Erzähler der Geschichte, in Resonanz stehen, ist die Idee, dass "einige Unendlichkeiten größer sind als andere Unendlichkeiten".

In Hazels Stimme schreibt Green:

„Es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1. Es gibt 0,1 und 0,12 und 0,112 und eine unendliche Sammlung von anderen. Natürlich gibt es eine größer unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 2 oder zwischen 0 und einer Million. Manche Unendlichkeiten sind größer als andere Unendlichkeiten…. Ich kann dir nicht sagen, wie dankbar ich für unsere kleine Unendlichkeit bin. Sie haben mir für immer innerhalb der nummerierten Tage gegeben, und ich bin dankbar. "

Das Gefühl ist schön, aber mathematisch ungenau. Eine der verblüffendsten Fakten, die ein junger Mathematiker erfährt, ist, dass es auf eine bestimmte, strenge Weise genau so viele Zahlen zwischen 0 und 1 gibt, wie zwischen 0 und 2, 0 und eine Million oder sogar in der gesamten Zahl reelle Zahlen! Machen Sie sich keine Sorgen, es ist natürlich, sich dubios zu fühlen. Es scheint unmöglich, dass ein Satz die gleiche Größe wie ein Satz haben könnte, der ihn enthält Plus ein paar andere Sachen! Aber das ist eines der wunderbaren Mysterien der Unendlichkeit.

Wie man Kartoffeln zählt, indem man sie mit Zahlen koppelt. Bild: Yen Duong.

Im Wesentlichen können Sie feststellen, ob zwei Sätze die gleiche Größe haben, indem Sie prüfen, ob Sie Elemente koppeln können, sodass Sie alle Elemente in jedem Satz genau einmal verwenden. Georg Cantor, auf den Green bereits früher in dem Buch verweist, hat bewiesen, dass es tatsächlich unendlich viele Größen gibt. Die Unendlichkeiten zwischen 0 und 1 und 0 und 2 sind jedoch nicht unterschiedlich groß. Jede Zahl zwischen 0 und 1 kann verdoppelt werden, um eine Zahl zwischen 0 und 2 zu erhalten, und jede Zahl zwischen 0 und 2 kann halbiert werden, um eine Zahl zwischen 0 und 1 zu erhalten.

Mein Mathematik-Bloggen-Kumpel Yen Duong von Baking and Math schrieb gerade einen Artikel über diesen mathematischen Fehler in The Fault in Our Stars, in dem Cantors Diagonalisierungsargument mit entzückenden Cartoons von Kartoffeln erklärt wird. Mathemusician Vi Hart hat auch ein schönes Video über die Ideen gemacht. Es hat keine Kartoffeln, aber viele Wolken.

Obwohl ich davon profitiere, ein pedantischer Mathematiklehrer zu sein Folterungen Ermutigt die Schüler sanft, präzise und streng zu sein, stört mich der mathematische Fehler in diesem Roman nicht. Ich weiß, es stört einige andere Leute, insbesondere angesichts der Rolle von Green als Moderator des Mental Floss-Videokanals, und ich kann verstehen, warum, aber ich fühle mich nicht so.

Es macht mir nichts aus, wenn ein Teenager in einem Buch (oder in Wirklichkeit) das Diagonalisierungsargument von Cantor nicht versteht, aber immer noch die Idee von immer größeren Infinitäten als sinnvoll erachtet. Ich weiß nicht, ob Green beabsichtigt, dass Hazel das Verständnis der unendlichen Kardinalitäten richtig versteht oder nicht, aber wenn Sie mit dem Fehler in ihrem Argument vertraut sind, können Sie die Passage auf andere Weise lesen. Hazel und Augustus sind beide kluge, nachdenkliche Kinder, die mit schrecklichen Umständen fertig werden, aber sie haben auch diese Kombination aus Naivität? und Prätentiösität, die mir als typisch jugendlich erscheint, und ich sehe Hazels Missverständnis von Cantor als Hervorhebung dieser Eigenschaften. Ob Green es beabsichtigt hat oder nicht, so habe ich es gelesen.

Ich denke jedoch, dass das Video von Hart eine schönere Interpretation der Unendlichkeit darstellt, da es für ein zu kurzes Leben von Sternenliebhabern gilt. (Übrigens sagt Green, dass Hart ihm geholfen hat, über einige wichtige Themen im Buch nachzudenken und zu schreiben.) Um das 9:25-Zeichen des Videos zu erklären, erklärt sie Cantors Diagonalisierungsargument und einige der verschiedenen Unendlichkeiten, die wir kennen, perfekt :

„Es ist nicht bekannt, ob diese verschiedenen Arten von Unendlichkeiten für so etwas wie Momente gelten.Was wir wissen, ist, dass, wenn das Leben unendliche Momente oder unendliche Liebe oder unendliches Sein hat, ein doppelt so langes Leben immer noch genau dieselbe Menge hat. Einige Unendlichkeiten sehen nur größer aus als andere Unendlichkeiten. Und einige unendlich kleine Unendlichkeiten sind genauso viel wert wie die zehnfache Unendlichkeit ihrer Größe. “

Die geäußerten Ansichten sind die des Autors und sind nicht notwendigerweise die.

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