Benoit Mandelbrot (RIP) und die Suche nach einer Theorie von wirklich allem

Der Tod des Mathematikers Benoit Mandelbrot hat in mir eine Welle der Nostalgie für die 1980er Jahre ausgelöst, als Mandelbrot und andere Forscher eine wissenschaftliche Revolution zu schaffen schienen. Sie hofften, dass ausgefeilte neue mathematische Techniken und immer leistungsfähigere Computer ihnen dabei helfen könnten, ein breites Spektrum komplexer, nichtlinearer Phänomene zu ergründen - von Gehirn und Immunsystem bis hin zu Wirtschaft und Klima -, die sich einer Analyse durch die reduktionistischen Methoden der Vergangenheit widersetzten.


Der Journalist James Gleick beschrieb diese Forschung in seinem Bestseller von 1987 glänzend Chaos: Eine neue Wissenschaft machen. Mandelbrot, ein angewandter Mathematiker, der sich auf verschiedensten Gebieten befasste, war ein Held in Gleicks Buch. Seit den 1960er Jahren erkannte Mandelbrot, dass viele reale Phänomene - Wolken, Schneeflocken, Küsten, Börsenschwankungen und Gehirngewebe - ähnliche Eigenschaften aufweisen. Sie zeigen "Selbstähnlichkeit", Muster, die sich in immer kleineren Maßstäben wiederholen. und sie haben unscharfe Grenzen.


Mandelbrot stellte fest, dass er diese Phänomene mit mathematischen Objekten modellieren konnte, die er Fraktale nannte. Der Name bezieht sich auf eine Eigenschaft, die als fraktionale Dimensionalität bezeichnet wird: Fraktale sind unschärfer als eine Linie, füllen aber niemals eine Ebene. Das bekannteste Fraktal ist das Mandelbrot-Set, das durch wiederholtes Lösen einer einfachen mathematischen Funktion und Einstecken der Antwort erzeugt wird.


Wenn sie von einem Computer gezeichnet werden, erzeugt das Mandelbrot-Set ein sehr seltsam aussehendes Objekt, das an einen wartenden Schneemann erinnert, der auf der Seite gestürzt ist. Wenn Sie das Objekt mit immer höherer Auflösung betrachten, sehen Sie, dass die Grenzen des Schneemanns so vage sind wie die Grenzen einer Flamme. So sieht eine gebrochene Dimensionalität aus. Bestimmte Muster, wie z. B. der warme Schneemann, kommen immer wieder in kleineren Maßstäben mit subtilen Variationen vor.


Andere Mathematiker hatten mindestens seit dem frühen 20. Jahrhundert ähnliche Phänomene erforscht. Darüber hinaus behaupteten 1990 mehrere Mathematiker, den Mandelbrot-Satz vor Mandelbrot erforscht zu haben, eine Behauptung, über die ich in einem Artikel berichtet habe , "Wer hat das Mandelbrot-Set entdeckt?" Nachdem ich ihn um einen Kommentar gebeten hatte, wandte sich Mandelbrot an meinen Redakteur, um gegen die Veröffentlichung der Geschichte zu protestieren, aber ich beschuldige ihn nicht dafür. Er verdiente zweifellos die Anerkennung anderer Forscher auf Fraktale - einschließlich des Mandelbrot-Sets - und ihre besonderen Ähnlichkeiten mit einer Vielzahl von Naturereignissen.


Was resultierte schließlich aus Versuchen, die physische Welt mit Fraktalen zu modellieren? Oder alle anderen in Chaos beschriebenen trendigen mathematischen und rechnerischen Methoden und eine Fülle von Fortsetzungen anderer wissenschaftlicher Autoren? Lassen Sie mich an einige der Schlagworte aus dieser berauschenden Zeit erinnern: Zelluläre Automaten, künstliches Leben, genetische Algorithmen, selbstorganisierte Kritikalität. Alle galten als Methoden zur Modellierung und damit zum Verständnis komplexer Phänomene. Alle diese Ansätze fanden Anwendung, aber keiner erwies sich als so mächtig, wie es die Anhänger erwartet hatten.


In der Tat folgten die Chaos-Theorie und ihr Nachfolger, die Komplexität (was wirklich nur ein Chaos in einer glänzenden neuen Verpackung war) dem gleichen Boom-Bust-Zyklus wie zwei vorangegangene wissenschaftliche Bewegungen: die Kybernetik und die Katastrophentheorie. Kybernetik (ein Neologismus aus dem griechischen Begriff Kubernetes oder Steuermann) wurde vom Mathematiker Norbert Wiener konzipiert. In seinem Buch von 1948 Kybernetik: Kontrolle und Kommunikation in Tier und Maschine Er proklamierte, dass die Kybernetik prinzipiell nicht nur den Betrieb von Maschinen modellieren könne, sondern auch alle biologischen Phänomene, von Einzeller bis hin zu den Volkswirtschaften von Nationalstaaten.


Die Kybernetik erfreute sich vor allem in Russland großer Beliebtheit, verlor jedoch bereits in den 1960er Jahren an Glanz. Der Elektrotechniker John Pierce lächelte 1961, dass der Begriff "Kybernetik" in der Presse und in populären und semiliterären, wenn nicht halb-literarischen Zeitschriften am meisten verwendet wurde. " (Die Kybernetik lebt natürlich im Popkulturbegriff "Cyberspace", der vom Science-Fiction-Autor William Gibson geprägt wurde.)


Die nächste große Idee war die Katastrophentheorie, eine Reihe von Gleichungen, von denen der französische Mathematiker Rene Thom behauptete, sie könnten Phänomene modellieren, die abrupte, "katastrophale" Diskontinuitäten zeigen. Thom und seine Anhänger schlugen vor, dass die Katastrophentheorie dazu beitragen kann, nicht nur Ereignisse wie Erdbeben, sondern auch biologische und soziale Phänomene wie das Auftauchen des Lebens, die Verwandlung einer Raupe in einen Schmetterling und den Zusammenbruch von Zivilisationen zu erklären.


Ein Rezensent von Thom's 1972 Buch Strukturstabilität und Morphogenese verglich es mit Newtons Principiawohl die wichtigste wissenschaftliche Abhandlung aller Zeiten. In den späten 70er Jahren beschwerten sich Kritiker, dass Thoms Arbeit "keine neuen Informationen liefert" und "übertrieben, nicht ganz ehrlich" ist. Ein Essay in Natur Katastrophentheorie genannt "einer von vielen Versuchen, die Welt allein durch das Denken abzuleiten", was "ein Traum ist, der nicht in Erfüllung gehen kann". ( ist Teil der Nature Publishing Group.)


Die Chaostheorie folgte demselben Muster. 1991, nur vier Jahre danach Chaos wurde veröffentlicht, David Ruelle, der wie Mandelbrot ein Pionier in der mathematischen Modellierung chaotischer Systeme war, beklagte, dass das Chaos "trotz häufiger triumphierender Ankündigungen von" neuartigen "Durchbrüchen eine abnehmende Ausgabe interessanter Entdeckungen zur Folge hatte."


Hin und wieder verkündet eine ehrgeizige Seele erneut, dass er eine allmächtige mathematische Theorie entwickelt hat. Ein prominentes Beispiel war der Physiker und Mathematik-Software-Mogul Stephen Wolfram, der das 2002 veröffentlichte, selbstveröffentlichte Buch erklärte Eine neue Art von Wissenschaft würde eine neue Art von Wissenschaft erzeugen. Wolframs "neuer" Ansatz zur Lösung aller wissenschaftlichen Rätsel bestand jedoch nur aus zellulären Automaten, dem computergestützten Modellierungssystem, das John Von Neumann in den fünfziger Jahren erfunden hatte.


Vielleicht ist es Zeit zu erkennen, dass kein einzelnes mathematisches oder rechnerisches System die gesamte Realität modellieren kann. Mandelbrot, der nicht für Bescheidenheit bekannt war, schlug dies vor. "Ich halte den fraktalen Standpunkt nicht für ein Allheilmittel", schrieb er in seinem seltsamen und wundervollen Buch von 1977 Die fraktale Geometrie der Natur. Die Ähnlichkeit eines Fraktals mit einem natürlichen Phänomen habe nicht unbedingt tiefe Einblicke in die zugrunde liegenden physikalischen Mechanismen ermöglicht.


Fraktale haben sich jedoch für die Finanzmodellierung, Bildkomprimierung und andere Anwendungen als nützlich erwiesen. Und Mandelbrot hatte absolut Recht, dass computergenerierte Fraktalbilder "eine Welt von reiner plastischer Schönheit enthüllten, die bisher noch nicht vermutet wurde". Ich kann mich immer noch an den Nervenkitzel erinnern, den ich bekam, als ich zum ersten Mal die farbigen Bilder des Mandelbrot-Sets sah, die vor Unendlichkeit schimmerten. Ich werde Mandelbrot dafür immer dankbar sein.

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