Ein Vierteljahrhundert Freizeitmathematik, von Martin Gardner - Die Wissenschaften - 2020

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Anonim

Bearbeiten oder ist Hinweis: In Anbetracht des Todes von Martin Gardner veröffentlichen wir diesen Artikel aus der August - Ausgabe vom . Gardner schrieb die Kolumne "Mathematische Spiele" für von 1956 bis 1981 und steuerte danach einige Jahre lang gelegentlich Kolumnen bei . Dieser Artikel, der vier Rätsel von Martin Gardner umfasst, war sein letztes Stück für die Zeitschrift.

Meine Kolumne "Mathematische Spiele" begann in der Dezemberausgabe 1956 von mit einem Artikel über Hexaflexagone. Diese merkwürdigen Strukturen, die durch Falten eines gewöhnlichen Papierstreifens in ein Sechseck und anschließendes Zusammenkleben der Enden entstanden sind, konnten wiederholt nach außen gedreht werden, um ein oder mehrere verborgene Gesichter zu zeigen. Die Strukturen wurden 1939 von einer Gruppe Absolventen der Universität Princeton erfunden. Hexaflexagons machen Spaß, aber vor allem zeigen sie die Verbindung zwischen Freizeitpuzzlespielen und „ernsthafter“ Mathematik: Einer ihrer Erfinder war Richard Feynman, der später zu einem der berühmtesten theoretischen Physiker des Jahrhunderts wurde.

Zu dem Zeitpunkt, als ich meine Kolumne startete, waren nur wenige Bücher zur Freizeitmathematik in Druck. Der Klassiker des Genres Mathematische Wiederholungen und Essays , geschrieben von dem berühmten englischen Mathematiker W. W. Rouse Ball im Jahr 1892 - war in einer Version erhältlich, die von einer anderen legendären Figur, dem kanadischen Geometer H.S.M. Coxeter Dover Publications hatte eine Übersetzung aus dem Französischen veröffentlicht La Mathématique des Jeux ( Mathematische Erholungen ), vom belgischen Zahlentheoretiker Maurice Kraitchik. Aber abgesehen von ein paar anderen Puzzle-Sammlungen ging es darum. Seitdem gab es eine bemerkenswerte Explosion von Büchern zu diesem Thema, viele von bedeutenden Mathematikern. Zu den Autoren zählt auch Ian Stewart, der jetzt schreibt Spalte „Mathematische Erholung“; John H. Conway von der Princeton University; Richard K. Guy von der University of Calgary; und Elwyn R. Berlekamp von der University of California in Berkeley. Artikel zur Freizeitmathematik werden auch immer häufiger in mathematischen Zeitschriften veröffentlicht. Vierteljährlich Zeitschrift für Freizeitmathematik Die Veröffentlichung zwischen unterhaltsamer Mathematik und ernsthafter Mathematik ist verschwommen. Viele Profimathematiker betrachten ihre Arbeit als Spielform, so wie Profispieler oder Basketballstars. Im Allgemeinen wird Mathematik als erholsam betrachtet, wenn sie einen spielerischen Aspekt hat, der von Nicht-Mathematikern verstanden und geschätzt werden kann. Freizeitmathematik beinhaltet elementare Probleme mit eleganten und manchmal überraschenden Lösungen. Es umfasst auch bahnbrechende Paradoxien, geniale Spiele, verwirrende Zaubertricks und topologische Kuriositäten wie Möbius-Bands und Klein-Flaschen. In der Tat hat fast jeder Zweig der Mathematik, der einfacher als Kalkül ist, Bereiche, die als Erholungsbereich betrachtet werden können. (Einige lustige Beispiele werden auf der folgenden Seite gezeigt.)

Ticktacktoe im Klassenzimmer
Das vom Nationalen Rat der Mathematiklehrer herausgegebene Monatsmagazin Mathematiklehrer , trägt oft Artikel zu Freizeitthemen. Die meisten Lehrer ignorieren dieses Material jedoch weiterhin. Seit 40 Jahren habe ich mein Bestes gegeben, um die Lehrer davon zu überzeugen, dass Freizeitmathematik in den Standardlehrplan aufgenommen werden sollte. Es sollte regelmäßig eingeführt werden, um junge Studenten für die Wunder der Mathematik zu interessieren. Bisher war die Bewegung in diese Richtung jedoch eiszeitlich.

Ich habe oft eine Geschichte aus meinen Highschool-Jahren erzählt, die das Dilemma veranschaulicht. Eines Tages während des Mathematikunterrichts, nachdem ich meine reguläre Aufgabe beendet hatte, zog ich ein neues Blatt Papier heraus und versuchte, ein Problem zu lösen, das mich fasziniert hatte: Ob der erste Spieler in einem Ticktacktoe-Spiel immer gewinnen kann, angesichts der Tatsache richtige Strategie. Als meine Lehrerin mich kritzeln sah, riss sie mir das Laken weg und sagte: „Mr. Gardner, wenn Sie in meiner Klasse sind, erwarte ich, dass Sie an Mathematik arbeiten und sonst nichts. "

Das Problem mit dem Ticktack-Toe wäre eine wunderbare Übung im Klassenzimmer. Es ist eine hervorragende Möglichkeit, die Schüler mit kombinatorischer Mathematik, Spieltheorie, Symmetrie und Wahrscheinlichkeit vertraut zu machen. Darüber hinaus ist das Spiel Teil der Erfahrung eines jeden Schülers: Wer hat als Kind nicht Ticktacktoe gespielt? Ich kenne jedoch nur wenige Mathematiklehrer, die solche Spiele in ihren Unterricht aufgenommen haben.

Laut dem Jahrbuch des Mathematiklehrerrates von 1997 heißt der neueste Trend in der Mathematikausbildung „die neue neue Mathematik“, um sie von der „neuen Mathematik“ zu unterscheiden, die vor einigen Jahrzehnten so katastrophal floppte. Das neueste Lehrsystem besteht darin, den Unterricht in kleine Schülergruppen aufzuteilen und die Gruppen anzuweisen, Probleme durch kooperatives Denken zu lösen. „Interaktives Lernen“, wie es genannt wird, wird durch Vorlesungen ersetzt. Obwohl es einige positive Aspekte der neuen neuen Mathematik gibt, fiel mir auf, dass das Jahrbuch nichts über den Wert der Freizeitmathematik zu sagen hatte, der sich so gut für die kooperative Problemlösung eignet.

Ich möchte den Lehrern folgendes Experiment vorschlagen. Bitten Sie jede Schülergruppe, an eine beliebige dreistellige Zahl zu denken - nennen wir sie ABC. Bitten Sie die Schüler dann, die Reihenfolge der Ziffern in ihre Rechner einzugeben und dabei die Zahl ABCABC zu bilden. Wenn die Schüler beispielsweise an die Zahl 237 denken, geben sie die Zahl 237,237 ein. Sagen Sie den Schülern, dass Sie über die psychische Kraft verfügen, um vorauszusagen, dass es keinen Rest geben wird, wenn sie ABCABC durch 13 teilen. Das wird sich als wahr erweisen. Bitten Sie sie nun, das Ergebnis durch 11 zu teilen. Wieder wird es keinen Rest geben. Bitten Sie sie schließlich, sich durch 7 zu teilen. Die ursprüngliche Nummer ABC befindet sich jetzt in der Anzeige des Rechners. Das Geheimnis des Tricks ist einfach: ABCABC = ABC ≤ 1.001 = ABC ≤ 7 ≤ 11 ≤ 13. (Wie jede andere ganze Zahl kann 1.001 in einen eindeutigen Satz von Primzahlen einfließen.) Ich kenne keine bessere Einführung in die Zahlentheorie und die Eigenschaften von Primzahlen, als die Schüler zu fragen, warum dieser Trick immer funktioniert.

Polyominos und Penrose-Fliesen
Eine der großen Freuden des Schreibens Kolumne über 25 Jahre lernte so viele authentische Mathematiker kennen. Ich selbst bin wenig mehr als ein Journalist, der Mathematik liebt und darüber leicht schreiben kann. Ich habe keine Mathematikkurse an der Uni besucht. Meine Kolumnen wurden immer raffinierter, je mehr ich lernte, aber der Schlüssel zur Popularität der Kolumne war das faszinierende Material, das ich von einigen der besten Mathematiker der Welt entlocken konnte. Solomon W. Golomb von der University of Southern California war einer der ersten, der Mahlgut für die Kolonne lieferte. In der Ausgabe vom Mai 1957 stellte ich seine Untersuchungen über Polyominos vor, Formen, die durch das Zusammenfügen identischer Quadrate entlang ihrer Kanten gebildet wurden. Der aus zwei solchen Quadraten erzeugte Domino kann nur eine Form annehmen, aber der Tromino, Tetromino und Pentomino können verschiedene Formen annehmen: Ls, Ts, Quadrate usw. Eines der ersten Probleme von Golomb bestand darin, festzustellen, ob ein festgelegter Satz von Polyominos, die eng aneinandergefügt sind, ein Schachbrett überdecken kann, ohne Quadrate auszulassen. Das Studium der Polyominos entwickelte sich bald zu einem florierenden Zweig der Freizeitmathematik. Arthur C. Clarke, der Science-Fiction-Autor, gestand, dass er ein "Pentomino-Süchtiger" geworden sei, nachdem er angefangen hatte, mit den täuschend einfachen Figuren zu spielen.

Golomb machte mich auch auf eine Gruppe von Figuren aufmerksam, die er "Reptilien" nannte - identische Polygone, die zusammengefügt werden, um größere Abbilder ihrer selbst zu bilden. Eine davon ist die Sphinx, ein unregelmäßiges Fünfeck, dessen Form der des alten ägyptischen Denkmals ähnelt. Wenn vier identische Sphinxe richtig zusammengefügt werden, bilden sie eine größere Sphinx mit der gleichen Form wie ihre Bestandteile. Das Muster der Wiederholungskacheln kann sich unendlich erweitern: Sie kacheln die Ebene, indem sie größere und größere Repliken erstellen.Der verstorbene dänische Erfinder und Dichter Piet Hein wurde durch seine Beiträge zu „Mathematical Games“ zu einem guten Freund. In der Juli-Ausgabe 1957 schrieb ich über ein topologisches Spiel namens Hex, das auf einer diamantförmigen Platte gespielt wird aus Sechsecken. Die Spieler platzieren ihre Marker auf den Sechsecken und versuchen, als erster eine ununterbrochene Kette von einer Seite des Bretts auf die andere zu vollenden. Das Spiel wurde oft John genannt, weil es auf den sechseckigen Fliesen eines Badezimmerbodens gespielt werden kann.

Hein erfand auch den Soma-Würfel, der Gegenstand mehrerer Kolonnen war (September 1958, Juli 1969 und September 1972). Der Somawürfel besteht aus sieben verschiedenen Polywürfeln, den dreidimensionalen Analoga von Polyominoen. Sie werden erstellt, indem identische Würfel an ihren Gesichtern zusammengefügt werden. Die Polywürfel können zusammengefügt werden, um den Soma-Würfel - auf 240 Arten und nicht weniger - sowie eine ganze Reihe von Soma-Formen zu bilden: die Pyramide, die Badewanne, der Hund und so weiter.

1970 kam der Mathematiker John Conway - einer der unbestrittenen Genies der Welt - zu mir und fragte, ob ich ein Brett für das alte orientalische Go-Spiel hätte. Ich tat. Conway demonstrierte dann sein berühmtes Simulationsspiel namens Life. Er setzte mehrere Spielmarken in das Raster der Tafel ein und entfernte oder fügte neue Zähler nach drei einfachen Regeln hinzu: Jeder Zähler mit zwei oder drei benachbarten Zählern darf bleiben; jeder Zähler mit einem oder keinem Nachbarn oder vier oder mehr Nachbarn wird entfernt; und zu jedem leeren Bereich neben genau drei Zählern wird ein neuer Zähler hinzugefügt. Durch wiederholte Anwendung dieser Regeln kann eine erstaunliche Vielfalt von Formen erzeugt werden, einschließlich solcher, die sich wie Insekten über die Bretter bewegen. Ich beschrieb Life in der Kolonne von Oktober 1970, und es wurde ein sofortiger Hit unter Computerfreaks. Viele Wochen danach waren Unternehmensfirmen und Forschungslabors fast geschlossen, während Life-Enthusiasten auf ihren Computerbildschirmen mit Lebensformen experimentierten.

Conway arbeitete später zusammen mit den Kollegen Richard Guy und Elwyn Berlekamp an dem, was ich für den größten Beitrag zur Freizeitmathematik in diesem Jahrhundert halte, ein zweibändiges Werk Wege gewinnen (1982). Eines von hunderten von Edelsteinen ist ein Zwei-Personen-Spiel namens Phutball, das auch auf einem Go-Board gespielt werden kann. Der Phutball befindet sich in der Mitte des Bretts, und die Spieler setzen abwechselnd Zähler an den Schnittpunkten der Gitterlinien. Spieler können den Phutball bewegen, indem er über die Spielmarken springt, die nach dem Überspringen vom Spielbrett entfernt werden. Ziel des Spiels ist es, den Phutball an der gegnerischen Torlinie vorbeizulassen, indem er eine Kette von Spielmarken auf der ganzen Linie bildet. Das Besondere an diesem Spiel ist, dass Phutball im Gegensatz zu Dame, Schach, Go oder Hex keine unterschiedlichen Spielsteine ​​auf jeder Seite zuordnet: Die Spieler verwenden die gleichen Spielmarken, um ihre Ketten aufzubauen. Folglich kann jede Bewegung eines Phutball-Spielers auch von seinem Gegner ausgeführt werden.

Andere Mathematiker, die Ideen für die Kolumne beigesteuert haben, sind Frank Harary, jetzt an der New Mexico State University.
Wer verallgemeinerte das Spiel von Ticktacktoe. In Hararys Version des Spiels, die in der Ausgabe vom April 1979 vorgestellt wurde, war es nicht das Ziel, eine gerade Linie von X oder Os zu bilden. Stattdessen haben die Spieler versucht, als erste ihre Xs oder Os in einem angegebenen Polyomino anzuordnen, beispielsweise einem L oder einem Quadrat. Ronald L. Rivest vom Massachusetts Institute of Technology erlaubte mir, als erster in der Kolumne vom August 1977 das von ihm mitentdeckte "publickey" -Verschlüsselungssystem zu enthüllen. Es war der erste einer Reihe von Chiffren, die die Kryptologie revolutionierten. Ich hatte auch das Vergnügen, die mathematische Kunst von Maurits C. Escher zu präsentieren, die auf der Titelseite der Aprilausgabe von 1961 erschien Der britische mathematische Physiker Roger Penrose wurde durch seine Arbeiten zu Relativitätstheorie und schwarzen Löchern berühmt.

Penrose-Kacheln sind ein wunderbares Beispiel dafür, wie eine Entdeckung, die nur zum Spaß gemacht wurde, einen unerwarteten praktischen Nutzen haben kann. Penrose entwarf zwei Arten von Formen, „Drachen“ und „Darts“, die die Ebene nur auf nicht periodische Weise abdecken: Kein grundlegender Teil des Musters wiederholt sich. Ich erklärte die Bedeutung der Entdeckung in der Januar-Ausgabe 1977, in der ein Muster aus Penrose-Fliesen auf dem Cover zu sehen war. Ein paar Jahre später wurde eine 3D-Form der Penrose-Kacheln zur Grundlage für den Bau einer bisher unbekannten Art von Molekülstruktur, einem sogenannten Quasikristall. Seitdem haben Physiker Hunderte von Forschungsarbeiten zu Quasikristallen und ihren einzigartigen Wärme- und Schwingungseigenschaften verfasst. Die Idee von Penrose begann zwar ausschließlich der Erholung, bahnte jedoch einen völlig neuen Zweig der Festkörperphysik an.

Leonardo´s Spültoilette
Die zwei Kolumnen, die die meisten Briefe generierten, waren die Kolumne für den Aprilscherz und die von Newcomb. Die Hoax-Kolumne, die in der April-Ausgabe von 1975 erschien, bezog sich auf große Durchbrüche in Wissenschaft und Mathematik. Zu den überraschenden Entdeckungen gehörten eine Widerlegung der Relativitätstheorie und die Entdeckung, dass Leonardo da Vinci die Spültoilette erfunden hatte. Die Kolumne kündigte auch an, dass der Eröffnungsschachzug des Bauern zu Königsturm 4 ein gewisser Spielgewinner war und dass der Potentiometer von π ≤ √163 genau der ganzen Zahl 262.537.412.640.768.744 entsprach. Zu meinem Erstaunen erkannten tausende Leser die Kolumne nicht als Witz. Zum Text gehörte eine komplizierte Karte, von der ich sagte, dass sie fünf Farben benötigt, um sicherzustellen, dass keine zwei benachbarten Regionen gleich gefärbt sind. Hunderte von Lesern schickten mir Kopien der Karte, die nur mit vier Farben eingefärbt waren, und bestätigten so den Vierfarbensatz. Viele Leser sagten, die Aufgabe habe Tage gedauert.

Das Newcomb-Paradoxon wurde nach dem Physiker William A. Newcomb benannt, der die Idee ins Leben gerufen hatte, aber es wurde zuerst in einem technischen Artikel des Philosophen der Harvard University, Robert Nozick, beschrieben. Das Paradoxon beinhaltet zwei geschlossene Boxen, A und B. Box A enthält 1.000 Dollar. Kasten B enthält entweder nichts oder 1 Million Dollar. Sie haben zwei Möglichkeiten: Nehmen Sie nur Box B oder nehmen Sie beide Boxen. Beides scheint offensichtlich die bessere Wahl zu sein, aber es gibt einen Haken: Eine Überlegenheit - Gott, wenn Sie möchten - hat die Macht, im Voraus zu wissen, wie Sie entscheiden werden. Wenn er voraussagt, dass Sie aus Gier beide Kästen nehmen werden, lässt er B leer und Sie erhalten nur die 1.000 Dollar in A. Wenn er jedoch voraussagt, dass Sie nur Box B nehmen werden, steckt er 1 Million Dollar darin. Sie haben dieses Spiel viele Male mit anderen Spielern gesehen. Wenn der Spieler beide Boxen auswählte, stellte er fest, dass B leer war. Jedes Mal, wenn ein Spieler nur die Box B auswählte, wurde er oder sie Millionär.

Wie solltest du wählen? Das pragmatische Argument ist, dass Sie aufgrund der vorangegangenen Spiele, die Sie gesehen haben, davon ausgehen können, dass der Superbeing tatsächlich die Macht hat, genaue Vorhersagen zu treffen. Sie sollten daher nur Box B nehmen, um zu garantieren, dass Sie die 1 Million Dollar erhalten. Aber warte! Der Superbike macht seine Vorhersage Vor Sie spielen das Spiel und können es nicht ändern. In dem Moment, in dem Sie Ihre Wahl treffen, ist Box B entweder leer oder enthält 1 Million Dollar. Wenn es leer ist, erhalten Sie nichts, wenn Sie nur Box B auswählen. Wenn Sie jedoch beide Boxen auswählen, erhalten Sie mindestens die 1.000 Dollar in A. Und wenn B 1 Million Dollar enthält, erhalten Sie die Millionen plus eine weitere tausend. Wie können Sie also verlieren, wenn Sie beide Boxen auswählen?

Jedes Argument scheint unangreifbar. Beides kann jedoch nicht die beste Strategie sein. Nozick schlussfolgerte, dass das Paradoxon, das zu einem Zweig der Mathematik namens Entscheidungstheorie gehört, ungelöst bleibt. Meine persönliche Meinung ist, dass das Paradoxon, indem es zu einem logischen Widerspruch führt, die Unmöglichkeit der Fähigkeit eines Superbing zeigt, Entscheidungen vorherzusagen. Ich schrieb in der Kolonne vom Juli 1973 über das Paradoxon und erhielt danach so viele Briefe, dass ich sie in einen Karton verpackte und persönlich an Nozick lieferte. In der März-Ausgabe 1974 analysierte er die Briefe in einer Gastkolumne.

Magische Quadrate sind seit langem ein beliebter Teil der Freizeitmathematik. Was diese Quadrate magisch macht, ist die Anordnung von Zahlen in ihnen: Die Zahlen in jeder Spalte, Zeile und Diagonale addieren sich zu derselben Summe. Die Zahlen im magischen Quadrat müssen normalerweise eindeutig sein und in aufeinanderfolgender Reihenfolge ablaufen, beginnend mit einer. Es gibt nur ein magisches Quadrat der Ordnung 3, das die Ziffern eins bis neun in einem Raster von drei mal drei ordnet. (Variationen, die durch Drehen oder Reflektieren des Quadrats gemacht werden, werden als trivial betrachtet.) Im Gegensatz dazu gibt es 880 magische Quadrate der Ordnung 4, und die Anzahl der Anordnungen steigt bei höheren Ordnungen rasch an. Überraschenderweise ist dies bei magischen Sechsecken nicht der Fall. 1963 erhielt ich in der Post ein magisches Sechseck-Order-3, das Clifford W. Adams, ein pensionierter Angestellter der Reading Railroad, entworfen hatte. Ich schickte das magische Sechseck an Charles W. Trigg, einen Mathematiker am Los Angeles City College, der bewies, dass dieses elegante Muster das einzig mögliche magische Sechseck der Ordnung 3 ist und dass keine magischen Sechsecke anderer Größe möglich sind!

Was ist, wenn die Zahlen in einem magischen Quadrat nicht in aufeinanderfolgender Reihenfolge ausgeführt werden müssen? Wenn die einzige Anforderung ist, dass die Zahlen unterschiedlich sind, kann eine Vielzahl von magischen Quadraten der Ordnung 3 konstruiert werden. Beispielsweise gibt es unendlich viele solcher Quadrate, die unterschiedliche Primzahlen enthalten. Kann ein magisches Quadrat der Ordnung 3 mit neun unterschiedlichen Quadratzahlen erstellt werden? Vor zwei Jahren in einem Artikel in Quantum Ich habe für ein solches Muster 100 Dollar angeboten. Bisher hat sich noch niemand mit einem „Quadrat der Quadrate“ gemeldet - aber auch niemand hat seine Unmöglichkeit bewiesen. Wenn es sie gibt, wäre ihre Zahl riesig, vielleicht außerhalb der Reichweite der schnellsten Supercomputer von heute. Ein solches magisches Quadrat hätte wahrscheinlich keinen praktischen Nutzen. Warum versuchen Mathematiker dann, es zu finden? Weil es da sein könnte.

Die erstaunliche Dr. Matrix
Jedes Jahr oder so während meiner Amtszeit an , Ich würde eine Kolumne einem imaginären Interview mit einem Numerologen widmen, den ich Dr. Irving Joshua Matrix nannte (beachten Sie die "666", angegeben durch die Anzahl der Buchstaben in seinem ersten, mittleren und letzten Namen). Der gute Arzt würde auf die ungewöhnlichen Eigenschaften von Zahlen und auf bizarre Formen des Wortspiels eingehen. Viele Leser hielten Dr. Matrix und seine wunderschöne, halbjapanische Tochter Iva Toshiyori für echt. Ich erinnere mich an einen Brief eines verwirrten japanischen Lesers, der mir erzählte, dass Toshiyori in Japan ein sehr eigenartiger Familienname sei. Ich hatte es von einer Karte von Tokio genommen. Mein Informant sagte, dass das Wort auf Japanisch "Straße alter Männer" bedeutet.

Ich bedaure, dass ich Dr. Matrix nie nach seiner Meinung zu dem absurden Bestseller von 1997 gefragt habe Der Bibelcode , die behauptet, in der Anordnung hebräischer Buchstaben im Alten Testament Voraussagen über die Zukunft zu finden. Das Buch verwendet ein Chiffriersystem, das Dr. Matrix stolz gemacht hätte. Durch die selektive Anwendung dieses Systems auf bestimmte Textblöcke können wissbegierige Leser versteckte Vorhersagen nicht nur im Alten Testament finden, sondern auch im Neuen Testament, im Koran, im Wallstreet Journal - und sogar auf den Seiten von Der Bibelcode selbst.

Das letzte Mal, als ich von Dr. Matrix hörte, befand er sich in Hongkong und untersuchte das versehentliche Auftreten von π in bekannten Romanen. Er zitierte beispielsweise das folgende Satzfragment in Kapitel neun des zweiten Buches von H. G. Wells Der Krieg der Welten : "Ich stand eine Zeitlang in Bezug auf …" Die Buchstaben in den Wörtern geben π sechs Ziffern!

ANTWORTEN AUF VIER GARDNER-PUZZLESPIELE:

1. Die meisten Menschen vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2 gestiegen ist. Immerhin sind nur zwei Karten verdeckt und eine muss das Ass sein. Eigentlich bleibt die Wahrscheinlichkeit 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nicht Wählen Sie das Ass aus, bleibt 2/3, aber Jones hat einige der Unsicherheiten beseitigt, indem es gezeigt hat, dass eine der beiden nicht ausgewählten Karten nicht das Ass ist. Es besteht also eine 2/3 Wahrscheinlichkeit, dass die andere ungepflegte Karte das Ass ist. Wenn Jones Ihnen die Möglichkeit gibt, Ihre Wette auf diese Karte zu ändern, sollten Sie sie nehmen (es sei denn, er zieht Karten in seinen Ärmel, natürlich).

Ich habe dieses Problem in meiner Kolumne von Oktober 1959 in einer etwas anderen Form eingeführt - anstelle von drei Karten waren drei Gefangene betroffen, von denen einer vom Gouverneur begnadigt worden war. Im Jahr 1990 verfasste Marilyn vos Savant die Autorin einer populären Kolumne in Parade Das Magazin präsentierte noch eine andere Version des gleichen Problems, bei dem drei Türen und ein Auto hinter einer von ihnen standen. Sie gab die richtige Antwort, erhielt aber Tausende von wütenden Briefen - viele von Mathematikern -, die sie der Unkenntnis der Wahrscheinlichkeitstheorie bezichtigten! Die Fracas generierten eine Geschichte auf der Startseite New York Times .

2. Die Summe ist 111. Der Trick funktioniert immer, weil die Zahlenmatrix nichts anderes als eine altmodische Additionstabelle ist ( unten ). Die Tabelle wird aus zwei Zahlengruppen generiert: (3, 1, 5, 2, 4, 0) und (25, 31, 13, 1, 7, 19). Jede Zahl in der Matrix ist die Summe eines Zahlenpaares in den beiden Sätzen. Wenn Sie die sechs eingekreisten Zahlen auswählen, wählen Sie sechs Paare aus, die alle 12 der generierenden Zahlen enthalten. Die Summe der eingekreisten Zahlen ist also immer gleich der Summe der 12 generierenden Zahlen. Diese besonderen magischen Quadrate waren das Thema meiner Kolonne vom Januar 1957.

3. Jede Wortkette endet mit „Gott“. Diese Antwort mag vorsorglich wirken, ist aber tatsächlich das Ergebnis des Kruskal-Graus, eines mathematischen Prinzips, das der Mathematiker Martin Kruskal in den 1970er Jahren zum ersten Mal zur Kenntnis genommen hatte. Wenn die Gesamtzahl der Wörter in einem Text wesentlich größer ist als die Anzahl der Buchstaben im längsten Wort, ist es wahrscheinlich, dass sich zwei beliebige willkürlich gestartete Wortketten bei einem Schlüsselwort überschneiden. Nach diesem Punkt werden die Ketten natürlich identisch. Wenn der Text länger wird, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung. Ich habe das Prinzip von Kruskal in meiner Kolumne vom Februar 1978 diskutiert. Der Mathematiker John Allen Paulos wendet das Prinzip in seinem kommenden Buch auf Wortketten an Es war einmal eine Nummer .

4. Stellen Sie sich der Einfachheit halber ein Deck mit nur 10 Karten vor, wobei die schwarzen und roten Karten wie folgt abwechseln: BRBRBRBRBR. Wenn Sie dieses Deck halbieren, erhalten Sie zwei Decks mit fünf Karten: BRBRB und RBRBR. Zu Beginn des Mischens ist die unterste Karte eines Decks schwarz und die unterste Karte des anderen Decks ist rot. Wenn die rote Karte zuerst auf den Tisch fällt, sind die unteren Karten beider Decks schwarz, so dass die nächste Karte, die fällt, ein schwarzes Paar auf dem Tisch ergibt. Wenn die schwarze Karte zuerst fällt, sind die unteren Karten beider Decks rot, sodass die nächste Karte ein rot-schwarzes Paar bildet. Nachdem die ersten beiden Karten gefallen sind - egal aus welchem ​​Stapel sie stammen - wird die Situation die gleiche sein wie am Anfang: Die unteren Karten der Decks werden in verschiedenen Farben angezeigt. Der Vorgang wiederholt sich dann und garantiert in jedem nachfolgenden Paar eine schwarze und rote Karte, auch wenn einige der Karten zusammenkleben ( unten ).

Dieses Phänomen ist nach dem Entdecker Norman Gilbreath, einem kalifornischen Magier, als Gilbreath-Prinzip bekannt. Ich habe es zuerst in meiner Kolumne im August 1960 erklärt und im Juli 1972 erneut diskutiert. Magier haben mehr als 100 Kartentricks erfunden, die auf diesem Prinzip und seinen Verallgemeinerungen basieren. -M.G.

Die geäußerten Ansichten sind die des Autors und sind nicht notwendigerweise die.