Der Turm von Hanoi - - Die Wissenschaften - 2020

Inhaltsverzeichnis:

Anonim

Eine überragende mathematische Aktivität von Science Buddies

Schlüssel Konzepte
Mathematik
Muster
Algorithmen
Rätsel

Einführung
Hast du genug von Mathe-Arbeitsblättern und Hausaufgaben? Wussten Sie, dass es mehr Möglichkeiten gibt, Ihren mathematischen Muskel zu trainieren? Viele Spiele, Rätsel und Rätsel drehen sich um mathematische Konzepte. Denken Sie an einfache Spiele wie Tic-Tac-Toe, strategischere Spiele wie Schach oder Mathe-Puzzles wie Sudoku. Die Menschen haben diese Spiele und Rätsel seit Jahrhunderten gespielt! Sie machen Spaß, sind unterhaltsam und manchmal nützlich. Sehen Sie, wie es Ihnen gefällt.

Hintergrund
Im Laufe der Geschichte hat die Mathematik viele praktische Anforderungen erfüllt, z. B. das Messen von Landflächen, das Studium der Astronomie und das Berechnen von Steuern. Mathematik kann aber auch zur Unterhaltung eingesetzt werden - mathematische Spiele, Rätsel, Herausforderungen und Rätsel sind im Laufe der Geschichte auch miteinander verwoben!

Der Turm von Hanoi (auch Turm von Brahma oder Lucas-Turm genannt) wurde im 19. Jahrhundert von dem französischen Mathematiker Édouard Lucas erfunden. Es wird mit einer Legende eines Hindu-Tempels in Verbindung gebracht, in der das Puzzle angeblich zur Steigerung der geistigen Disziplin junger Priester verwendet wurde. In der Legende bekamen die jungen Priester 64 Goldscheiben, die auf einem der drei Pfosten ordentlich gestapelt waren. Jede Platte lag auf einer etwas größeren Platte. Das Ziel des Priesters war es, den Stapel auf einem anderen Posten neu zu erstellen, indem die Platten einzeln nacheinander auf einen anderen Posten verschoben wurden. Dabei wurde die Regel angewendet, dass eine größere Festplatte niemals auf einer kleineren Festplatte platziert werden kann. Mit Hilfe der Mathematik können Sie berechnen, dass selbst wenn die Priester den effizientesten Weg gefunden haben, das Problem zu lösen und die Platten mit einer Geschwindigkeit von einer Sekunde pro Sekunde bewegt wurden, es fast 585 Milliarden Jahre dauern würde, um die Aufgabe zu erledigen. Das ist mehr als das 40-fache des Alters des Universums!

Sie fragen sich vielleicht, wie Mathematik in diesem Spiel spielt. Wenn Sie das Spiel mit immer mehr Festplatten spielen, werden Sie feststellen, dass Sie nach Mustern suchen. Wenn Sie versuchen zu erklären, wie Sie das Rätsel lösen, werden Sie möglicherweise feststellen, dass Sie eines der folgenden mathematischen Konzepte verwenden:
- Lösungslösungen, bei denen die gleiche Befehlsfolge immer wieder wiederholt wird
—Erschwingliche Lösungen, bei denen Sie Informationen aus einem Schritt verwenden, um den nächsten Schritt zu finden
-Pattern und diese in mathematische Formeln übersetzen.
Diese Begriffe scheinen schwer zu verstehen. Mach dir keine Sorgen! Spielen Sie das Spiel, und Sie werden möglicherweise feststellen, dass Sie diese "Lösungen" selbst entwickeln.

Materialien

  • Fünf Disketten unterschiedlicher Größe wie Knöpfe, Flaschenverschlüsse, Behälterdeckel usw. (Die größte Diskette muss einen Durchmesser haben, der nicht größer als fünf Zoll ist.)
  • Karton, etwa fünf mal 15 Zoll
  • Marker
  • Lineal

Vorbereitung

  • Zeichnen Sie zwei gerade Linien, um die Pappe in drei gleich große Quadrate zu teilen (jeweils etwa fünf mal fünf Zoll).

Verfahren

  • Starten Sie das Spiel mit Ihren beiden kleinsten Festplatten. Stapeln Sie sie auf dem linken Quadrat Ihrer Pappe, wobei sich die kleinere Platte auf der größeren Platte befindet.
  • Die Startposition des Spiels ist ein Turm auf dem linken linken Platz des Bretts (wie der Turm mit zwei Scheiben, den Sie jetzt haben). Das Ziel des Spiels ist es, den Turm unter Beachtung der folgenden Regeln auf das rechte Feld des Bretts zu bewegen:

- Sie können jeweils nur eine Festplatte verschieben.

- Sie können nur die oberste Scheibe von einem beliebigen Quadrat verschieben.

—Disks können auf einem leeren Quadrat auf der Platine oder auf einer größeren Festplatte platziert werden. Festplatten können jedoch nicht nebeneinander auf einer größeren Festplatte platziert werden.

  • Wenn Sie sich die Regeln ansehen, können Sie sehen, dass es nicht erlaubt ist, eine Diskette von der Platine zu platzieren? Wo heißt es, dass Sie nicht zwei Türme auf einem Feld starten können?
  • Probieren Sie das Spiel mit Ihrem Tower mit zwei Datenträgern aus. Kannst du den Turm ganz nach den Regeln oben verschieben? Wie viele Züge brauchten Sie? Wenn Sie verwirrt sind oder das Spiel nicht beenden können, bitten Sie einen Freund, Ihnen zu helfen.
  • Wiederholen Sie das Spiel mit dem Tower mit zwei Datenträgern. Glaubst du, du findest die "beste" Lösung mit der kleinstmöglichen Anzahl von Zügen?
  • Wenn Sie den Tower mit zwei Datenträgern beherrschen, versuchen Sie es mit drei Datenträgern. Stapeln Sie drei Platten (von der größten bis zur kleinsten) auf dem ganz linken Quadrat und beginnen Sie von vorne. Wie viele Züge brauchten Sie diesmal?
  • Versuchen Sie das Spiel erneut mit drei Festplatten. Kannst du das Spiel mit weniger Zügen beenden? Denkst du, du kannst das Spiel mit einer möglichst geringen Anzahl von Zügen beenden?
  • Versuchen Sie es jetzt mit vier Festplatten. Kannst du in so wenigen Zügen wie möglich einen Weg finden? Hilft Ihnen etwas, das Sie beim Lösen des Drei-Disk-Tower gelernt haben, das Vier-Disk-Laufwerk?
  • Spielen Sie das Spiel noch ein paar Mal und beobachten Sie es genau. Hast du eine Strategie? Könnten Sie einem Freund erklären, wie Sie das Spiel beenden?
  • Fordern Sie sich selbst heraus und probieren Sie den Turm mit fünf Scheiben. Wenn Sie eine Strategie hatten, können Sie sie auf den Turm mit fünf Datenträgern erweitern?
  • Wenn Sie noch keine Strategie hatten, geben Sie nicht auf! Sehen Sie, ob Sie jetzt ein Muster finden können. Finden Sie die kleinste Anzahl an Zügen, die Sie benötigen, um das Spiel mit fünf Festplatten zu beenden? Wie viele Züge müssten Sie im Vergleich zu den vier Platten noch benötigen? Wie viele Züge sind erforderlich, um den Turm mit vier Festplatten im Vergleich zum Turm mit drei Festplatten zu bewegen?
  • Extra: Haben Sie eine einzige Strategie gefunden, mit der das Rätsel für zwei, drei, vier oder fünf Festplatten gelöst werden kann? Können Sie die Schritte für diese Strategie aufschreiben, damit Sie sich immer daran erinnern, wie Sie das Rätsel gelöst haben? Diese Liste von Schritten wird als "Algorithmus" bezeichnet.
  • Extra: Können Sie Ihren Algorithmus auf einer anderen Anzahl von Festplatten testen? Funktioniert es noch oder können Sie es anpassen, damit es funktioniert?
  • Extra: Wenn Sie die minimale Anzahl von Zügen gefunden haben, die erforderlich sind, um das Puzzle für zwei, drei, vier oder fünf Festplatten zu lösen, können Sie ein Muster in der erforderlichen Mindestanzahl von Zügen sehen? Könnten Sie das Muster verwenden, um die minimale Anzahl von Bewegungen zu bestimmen, die für ein Spiel mit sechs Festplatten erforderlich sind? Vielleicht können Sie sogar eine Gleichung finden, um die Mindestanzahl von Zügen zu berechnen, die erforderlich sind, um ein Spiel mit einer bestimmten Anzahl von Festplatten zu spielen. (Hinweis: Die Gleichung beinhaltet Exponenten.)
  • Extra: Es gibt viele Variationen des Turms von Hanoi. Zum Beispiel können Sie die Quadrate in einem Kreis anordnen und nur zulassen, dass sich Platten im Uhrzeigersinn bewegen. Schauen Sie sich einige andere Variationen des Spiels an. Wie verändern die neuen Regeln die Lösungen, die Sie finden können? Können Sie Algorithmen schreiben, um die modifizierten Versionen zu lösen?

Beobachtungen und Ergebnisse
Konnten Sie den Zweiplattenstapel in drei Schritten bewegen? Drei ist die minimale Anzahl von Bewegungen, die erforderlich sind, um diesen Turm zu bewegen. Vielleicht finden Sie auch in den Spielen drei Scheiben in sieben Zügen, vier Scheiben in 15 und fünf Scheiben in 31.

Um das Zwei-Scheiben-Spiel mit nur drei Zügen zu spielen, legen Sie die kleine Scheibe auf das mittlere Quadrat, die größere auf das rechtste Feld, und beenden Sie, indem Sie die kleinere Scheibe auf die größere legen. Eine Möglichkeit, das Spiel mit drei Festplatten zu spielen, besteht darin, den obersten Stapel mit zwei Festplatten auf das mittlere Quadrat zu verschieben. Dies ist eine geringfügige Variante des Spiels mit zwei CDs und kann in drei Schritten ausgeführt werden. Dann bewegen Sie die größte Scheibe von links nach ganz rechts (eine Bewegung). Bewegen Sie als Nächstes den Stapel mit zwei Platten, der sich jetzt im mittleren Quadrat auf der größten Platte befindet. Wieder eine kleine Variante des Zwei-Platten-Spiels, die mit drei Zügen möglich ist. Dies ergibt 3 + 1 + 3 oder sieben Züge. Ein ähnlicher Ansatz hilft beim Spielen mit vier Platten. Bewegen Sie zuerst den obersten Drei-Disk-Stapel mit sieben Zügen zum mittleren Quadrat. Dann bewegen Sie die größte Scheibe von links nach ganz rechts (eine Bewegung). Bewegen Sie nun den Stapel mit drei Platten, der sich im mittleren Quadrat auf der größten Platte befindet (sieben Züge). Dies ergibt genau 7 + 1 + 7 oder 15 Züge. Mathematiker nennen dies ein rekursives Verfahren. Um das Rätsel mit mehr Datenträgern zu lösen, beginnen Sie mit der Lösung für eine kleinere Anzahl von Datenträgern.

Es gibt andere Möglichkeiten, das Spiel zu spielen. Es wird ein Muster verwendet, um das Spiel zu starten, wenn mit einer minimalen Anzahl von Zügen gespielt wird: Die kleinste Platte wird beim Spielen mit einer geraden Anzahl von Platten zum rechten rechten Quadrat und beim Spielen mit einer ungeraden Anzahl von Platten zum mittleren Quadrat. Vielleicht haben Sie auch bemerkt, dass Sie während des Spiels abwechselnd die kleinste und die nächstkleinste bewegliche Festplatte bewegen. Wenn Sie genau aufpassen, stellen Sie möglicherweise fest, dass Sie dieselben Anweisungen immer wieder wiederholen, bis der Turm auf der anderen Seite Ihres Boards angezeigt wird. Mathematiker nennen dies eine iterative Lösung.

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Diese Aktivität wurde in Partnerschaft mit Science Buddies für Sie bereitgestellt